Hi Stone,
deine Skizze vom Anfang ist absolut in Ordnung!
Tausche lediglich den 1µF gegen einen größeren Kondensator ≥470µ.
Wenn das ein 6V-Relais ist, dann betreibe es ohne Vorwiderstand.
Du hast 6,3V ac (Mal nachgemessen? - das sind meist "nur 6,0 - 6,1V" - und die richtest du gleich.
Faktor √2 ist zwar ideal, wird aber in der Realität nicht erreicht, ich gehe da von 1,3 - 1,35 aus.
Ergo 6,1 * 1,35V = 8,23V, eher weniger(!), da das die obere Grenze unserer Schätzung ist.
Jetzt ziehen wir nochmal die 1,4V für die Dioden aus dem Gleichrichter ab und dann landen wir bei 6,83V.
Da kann man ein 6V-Relais astrein dran betreiben!
D.h. leg die LED lieber mit einem Vorwiderstand parallel zum Relais.
Dann sollte deine Schaltung wunderbar funktionieren
Grüße,
Swen