Hi DocBlues,
Time-Invariant bedeutet, dass ein System zu jedem Zeitpunkt gleich auf die gleiche Eingabe reagiert.
Einfaches Beispiel: Ein RC-Tiefpass ist zeitinvariant, ersetzen wir aber den Widerstand durch eine Glühlampe und hatten zuvor eine starkes Signal durchgeschickt, wird die Lampe warm und hochohmiger, und kühlt jetzt während der Messung ab und verfälscht diese. Das System ist zeitvariant und zudem nichtlinear, das Überlagerungsprinzip gilt nicht mehr.
Beim idealen Widerstand haben wir bei einer Sprunganregung einen exponentiellen Verlauf der Spannung am Ausgang des RC-Gliedes, der im Prinzip unendlich lange dauert. Starten wir eine neue Messung bevor das alte Signal ausreichend abgeklungen ist, ist das Resultat zwar nicht das gleiche wie wenn es vorher keine Anregung gegeben hätte, aber es gilt das Überlagerungsprinzip und deshalb sind die einzelnen Komponenten dennoch gleich und das System ist dennoch zeitinvariant. Das wird oft nicht verstanden.
Zur Fourier-Analyse : In der Technik wird die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) verwendet. Spezielle, rechenoptimierte Varianten der DFT werden als FFT (Fast Fourier Transform) bezeichnet.
Dazu sampled man ein (beliebiges) Signal, zB mit 65536 Punkten auf 48kHz Samplerate, und erfasst damit einen Block von 1.365333... Sekunden. Nach Ausführung der DFT erhalten wir 32768 Werte für Amplitude und Phase, je ein Wertepaar für 32768 Frequenzen zwischen 0 und 24kHz in Abständen von 0.7324... Hz. Die Frequenzen werden als DFT-Bins bezeichnet.
Die Bedeutung dieser Wertepaare pro Frequenz ist nun folgende :
Starten wir zum Zeitpunkt t=0 gleichzeitig lauter Sinus-Oszillatoren auf diesen Frequenzen mit den gegebenen Amplituden und Phasenlagen, dann erhalten wir wieder genau das urprüngliche Signal für den Zeitraum t=0 bis t=1.365333. Läßt man die Oszillatoren weiterlaufen anstatt sie zu stoppen, wiederholt sich das ganze mit eben der Periode von 1.365333 Sekunden. Deswegen ensteht oft das Mißvertändnis, dass die DFT nur mit kontinuierlichen Signalen funktioneren würde oder nur periodische Signale abbilden könne.
Mit genug Rechenpower kann die Anzahl der Stützstellen (Samples) beliebig erhöhen, d.h. man kann auch einen ganzen 3Minuten-Song vom Zeitbereich in den Frequenzbereich transformieren (und wieder zurück). Stoppt man die Oszillatoren nicht, wiederholt sich halt der ganze Song.
Folglich kann man auch singuläre Ereignisse ("Transienten") per DFT vollständig erfassen und nutzt das auch genau so, indem man zB die Impulsantwort eines Systems (also ein "transientes" Zeitsignal) der DFT unterwirft wenn man die Übertragungsfunktion anschaulich als Frequenzgang von Amplitude und Phase darstellen will. Eine weitere Anwendung finden wir in Modeling-Amps, dort werden ja oft Impulsantworten von Speaker-Cabs, Tone-Stacks etc verwendet und das Gitarrensignal damit gefaltet. Die Faltungsoperation direkt im Zeitbereich zu machen ist extrem rechenintensiv, deswegen nimmt man die DFT der Impulsantwort und blockweise DFTs des Eingangssignals und multipliziert einfach nur die (komplex-wertigen) Wertepaare der koresspondierenden DFT-Bins. Danach wandelt man blockweise mit der inveresen Transformation wieder zurück (IDFT bzw IFFT) in den Zeitbereich und hängt die Blöcke lückenlos aneinander.
